三门问题得名于美国的一档电视游戏节目，Let’s make a deal。参赛者会看到三扇门。其中一扇门背后是一辆汽车，另外两扇门背后各是一只羊。节目规则要求参赛者先选定一扇门，主持人会开启另外一扇背后是山羊的门。这个时候主持人会问参赛者，你要不要换门？

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我们凭借第一眼的直觉，当然会觉得除去主持人打开的那扇门，剩下两扇门一扇背后是汽车，一扇背后是山羊。这个时候我们无论选不选换门，参赛者选择的那扇门背后是汽车和山羊的概率各是一半对一半。所以换与不换是一样的。但是二者的概率真的是一样的吗？参赛者真的不应该换门吗？

答案是应该换，并且换门后参赛者获得汽车的概率是2/3，而不是我们预想中的1/2。

那么这个2/3又是怎么计算得来的呢？

在这个分析过程中，我们不能忽略掉主持人开门这个动作。表面上看，主持人开门仅仅是为参赛者排除掉一个选择，但实际上，这背后却蕴含着更为深刻的含义。

由于对称性，我们不妨假设参赛者先选择了1号门。这个时候2号门和3号门背后是什么，我们不知道。有可能是两只羊，也有可能是一只羊一辆车。我们不妨假设主持人打开了3号门，背后是一只羊。

那么这个时候我们要去计算，主持人打开3号门的概率是多少。假设2号门背后是一辆车，我们称这种情况为情况甲，那么主持人打开3号门的概率便是1；假设2号门和3号门背后都是一只羊，我们称这种情况为情况乙，那么主持人既可以选择打开2号门，也可以选择打开3号门，所以打开3号门的概率是1/2。

前面我们假设的两种情况，其实对应的恰恰是参赛者背后有没有车的情况。如果参赛者背后有车，那么对应的是情况乙；如果参赛者背后没有车，那么对应的是情况甲。所以这个时候问题就转化为：主持人打开3号门的前提下，情况甲出现的概率和情况乙出现的概率各是多少？

是一半对一半吗？显然不是。

我们用全概率公式可以计算得到情况甲出现的概率是1/(1+1/2)=2/3，情况乙出现的概率则是(1/2)/(1+1/2)=1/3。而情况甲对应的是2号门背后有一辆车，所以该不该换，答案不就是不言而喻了嘛。

我最早接触到这个问题的时候，也是非常诧异不已：怎么会是2/3呢？我甚至想用穷举的方式来证明2/3是错的。太迷惑人了。我后来还去请教了我的一位从事概率论研究的同学，不是普通的数学家哟，是专门做概率论研究的数学学者。但是很遗憾，他也错了。

当然，他错了也没什么。因为当时这个答案提出来的时候，也曾引起全世界很多数学家的质疑。所以这个故事告诉我们：即便是专门从事某个专业领域的研究人士，对他们本身专业领域的问题的回答，也不能保证是一定正确的。